مبادى قواعد الإشتقاق فى الرياضيات، وقاعدة المتسلسلة

لو دققت فى الرسم جيداً ربما تفهم المعنى الهندسى للمشتقة الأولى

المشتقة معناها ايجاد ميل الدالة .. ولما كان ميل الدالة الأعلى من الدرجة غير
غير ثابت .. اوجدنا معدل تغير ص على معدل تغير س ..

لماذا ميل الدوال من الدرجة ما بعد الأولى غير ثابت ؟؟
لأنهم يشكلون منحينيات وليس خط مستقيم .. فهل المنحنى
خط مستقيم يميل ؟؟ ام انه يميل على جميع النقاط التى تقع
عليه ؟؟ اى ان كل نقطة .. او كل نقطتين قريبتين جدا جدا على
المنحنى لهما ميل خاص .. ولما كان ذلك كذلك افترضنا انهم نقطة
واحدة نظرا ً لأن الفرق بينهم يؤوول الى الصفر .

معدل تغير ص فرق الصادات عندما يؤوول الى الصفر
الميل = المشتقة الأولى = ــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
معدل تغير س فرق السينات عندما يؤول الى الصفر

فإذا عوضنا فى رقم فى الدالة وليكن س ستكون الأخرى س + هـ

حيث هـ الفرق بين س الثانية وس الأولى .. وهـ تؤول الى الصفر

فرق الصادات د( س + هـ ) - د ( س )
الميل = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
فرق السينات هـ

وبوضع هـ = 0 نظرا ً لأنها قيمة مهملة تؤول الى صفر

د( س +0 ) - د ( س ) د(س) - د (س) 0
الميل = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ = كمية غير معينة
0 0 0

0/0 كمية غير معينة اى ان ناتج ( المشتقة الأولى ) لم يتعين .. فنلجأ الى حيلة أخرى
وهى ان نوجد قيمة هذا المقدار عندما هـ تقترب او تؤول الى الصفر .. ونسمى هذا
بمعدل التغير .

معدل التغير ( المشتقة الأولى )

د( س + هـ ) - د ( س )
= نهـــــــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ ← 0 هـ

نفرض ان الدالة تقول د(س) = س² فما قيمة دَََ(س) = ؟؟

د( س + هـ ) - د ( س )
= نهـــــــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ ← 0 هـ

د ( س + هـ ) معناها شيل كل س فى الدالة وضع مكانها س + هـ

مرة أخرى .. المسألة من جديد

( س + هـ )² - س²
= نهـــــــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ (( بتحليل المقام مربع كامل ))
هـ ← 0 هـ

س² + 2هـ س + هـ² - س² 2هـ س + هـ²
= نهــــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
هـ ← 0 هـ هـ ← 0 هـ

هـ ( 2س + هـ )
= نهـــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ (( بعد اختزال العامل الصفرى هـ بسطا ً ومقاما ً ))
هـ ← 0 هـ

= نهـــــــــــــــــــا 2س + هـ ولما كانت قيمة هـ مهملة وضعنها بصفر
هـ ← 0

= 2س اذا ً مشتقة س² = 2س

لكن انا اتحدث فى حالة تريد ان تطبق العام على الخاص .. بمعنى ان تضع مكان الأس ن

فتقول د(س) = س^ن فهذا النوع من الإثبات اذا اوجدناه بمعدل التغير سيكون من الصعب
قليلا ً حيث ان قيمة الأس ن مجهولة .. لكن بعد معرفتنا بـ اللوغاريتم الطبيعى لط فكان الأمر
سهل ان نثبت ان مشتقة س^ن = ن س^(ن-1)

وقد اثبت لك كيف نثبتها عن طريق أخذ اللوغاريتم الطبيعى للطرفين

د(س) = س^ن

لط د(س) = لط س^ن

لط د(س) = ن لط (س) (( حيث ن ثابت )) وبعد ان نشتق الطرفين بالنسبة لـ س

هذا الإثبات يجب ان تكون على معرفة جيدة باللوغاريتم الطبيعى وخواصه وطريقة اشتقاقه .

دَ(س) ن
ــــــــــــ = ــــــــــــ
د(س) س

ن د (س)
دَ(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــ ولكن د(س) = س^ن
س

ن س^ن
دَ(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــ = ن س^(ن-1)
س